Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　　．

 

 

Answer 1

【答案】

﹣2＜k＜

【解析】

试题分析：根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

由图可知，∠AOB=45°，

∴直线OA的解析式为y=x，

联立消掉y得，

x²﹣2x+2k=0，

△=（﹣2）²﹣4×1×2k=0，

即k=时，抛物线与OA有一个交点，

此交点的横坐标为1，

∵点B的坐标为（2，0），

∴OA=2，

∴点A的坐标为（，），

∴交点在线段AO上；

当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，

解得k=﹣2，

∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．

故答案为：﹣2＜k＜．

考点： 二次函数的性质．