Question

如图△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度匀速移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度匀速移动．
①如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积为8cm²？
②如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ与△ABC相似呢？

Answer 1

分析：①设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求出即可；
②设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况

BP

AB

=

BQ

BC

和第二种情况

BP

BC

=

BQ

AB

，代入求出即可．

解答：①解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴

1

2

BP×BQ=8，
∴

1

2

×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

②解：设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当

BP

AB

=

BQ

BC

时，△PBQ与△BAC相似，
∴

6-a

6

=

2a

8

，
解得：a=2.4，
第二种情况：当

BP

BC

=

BQ

AB

时，△PBQ与△ABC相似，
∴

6-a

8

=

2a

6

，
∴a=

18

11

，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2.4或

18

11

秒钟，使△PBQ与△ABC相似．

点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．