Question

如图，E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，AE=2BE，点G是AE的中点．点F是正方形ABCD外一点，FB⊥BE于点B，FB=BE，连接CF、CE、CG、CA．
（1）若AG=1，求AC的长．
（2）求证：∠ACG+∠CAE=∠CBE．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出BE的长，再利用勾股定理求出AB的长，进而利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长；
（2）首先利用已知得出△ABE≌△CBF，进而得出四边形EMFB是正方形，即可得出CM=EM，即可得出△CEG≌△CBG，利用三角形的外角性质求出即可．

解答：（1）解：∵∠AEB=90°，AE=2BE，点G是AE的中点，AG=1，
∴AE=2，BE=1，
∴AB=

22+12

=

5

，
∴AB=BC=

5

，
∴AC=

AB2+BC2

=

( 5 )2+( 5 )2

=

10

；

（2）证明：延长AE交CF于点M，
∵FB⊥BE，
∴∠EBC+∠CBF=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠FBC，
在△ABE和△CBF中

BA=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠F=90°，
∵∠FBE=∠BEM=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵BE=BF，
∴矩形EMFB是正方形，
则BE=EM=MF=FB，
∴CM=CF-FM=AE-BE=BE，
∴∠MCE=∠MEC=45°，
∴∠CEB=∠CEG=135°，
在△CEG和△CBG中，

EG=BE ∠CEG=∠CEB EC=EC

，
∴△CEG≌△CBG（SAS），
∴∠CBE=∠CGE，
∵∠ACG+∠CAE=∠CGE，
∴∠ACG+∠CAE=∠CBE．

点评：此题主要考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出MC=ME是解题关键．