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    已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．
    （1）如图1，若∠C=45°，求证：AP=数学公式AE．
    （2）如图2，若∠C=60°，直接写出线段AP、AE的数量关系______．
    （3）在（1）的条件下，将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K，已知AD=1，EK=数学公式．求线段NE的长．

    解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．
    ∵DP⊥CB，
    ∴AB∥DP，
    ∴四边形ABPD是矩形，
    ∴AD=BP．
    ∵BE⊥CD，∠C=45°，
    ∴在Rt△BEC中，∠EBC=∠C=45°．
    则在Rt△BFP中，∠FBP=∠BFP=45°，
    ∴BP=FP，
    ∴AD=PF．
    在Rt△DEF中，∠EDF=∠EFD=45°，则DE=EF．
    ∴∠ADE=∠ADP+∠FDE=135°，∠PFE=180°-∠BFP=180°-45°=135°，
    ∴∠ADE=∠PFE．
    在△ADE与△PFE中，
    ，
    ∴△ADE≌△PFE（SAS），
    ∴AE=PE，∠DEA=∠FEP，
    ∴∠DEA+∠AEF=∠FEP+∠AEF=∠AEP=90°，即△AEP是等腰直角三角形，
    ∴在Rt△AEP中，由勾股定理，得
    AE2+PE2=AP2
    即AP=AE；

    （2）如图2，连接PE．∵∠C=60°，DP⊥BC，BE⊥DC，
    ∴∠8=∠5=30°，∠1=∠3=60°（对顶角相等），
    ∴△ADE∽△PFE，
    ∴∠6=∠7（相似三角形的对应角相等），，
    ∴∠PAE=30°，
    ∴cos30°==，解得．

    （3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．
    ∴GE∥BC，EH∥GB，
    ∴四边形GBHE是矩形．
    ∴GE=BH．
    由（1）知，∠DEA=∠FEP．
    ∵∠DEA=∠DEN，∠DEN=∠KEC（对顶角相等），
    ∴∠FEP=∠KEC（等量代换），
    ∴∠EPK=45°+∠BEP，∠EKP=45°+∠KEC，
    ∴∠EPK=∠EKP，
    ∴PE=EK．
    ∵AE=PE，AP=AE，EK=，
    ∴AP=EK=，BP=1，
    ∴AB===3，则AB=DP=PC=3．
    ∴BC=BP+PC=1+3=4，
    ∴BH=BC=2，
    ∴BK=3．
    易证△NGE∽△NBK，
    ∴=，即=，
    解得，NE=2．
    分析：（1）如图1，连接PE，由条件可以得出△PDC，△DEF是等腰直角三角形，可以证明△ADE≌△PFE，从而证明△AEP为等腰直角三角形，就可以得出结论．
    （2）如图2，连接PE，由∠C=60°，由条件可以得出∠5=∠8=30°，∠1=∠3=60°，可以证明△ADE∽△PFE，得出∠6=∠7，，从而可以求出∠PAE=30°就可以求出cos30°==，从而求出其值．
    （3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．构建相似三角形：△NGE∽△NBK．利用（1）的结论，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求得GE=2，BK=3．由相似三角形的对应边成比例知=，从而求得NE的值．
    点评：本题考查了直角梯形、等腰直角三角形以及解直角三角形的应用．经常通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题．
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    12
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