Question

如图△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求证：AF垂直平分DE．

Answer 1

证明：∵AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，
∴FD=FE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△ADF和Rt△AEF中，，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴AD=AE（全等三角形对应边相等），
又∵AF平分∠BAC交BC于F，
∴AF垂直平分DE（等腰三角形三线合一）．
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出FD=FE，然后利用HL定理证明△ADF和△AEF全等，再根据全等三角形对应边相等得到AD=AE，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AF垂直平分DE．
点评：本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，本题难度不大．