Question

在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发以每秒1个单位长的速度向C点移动，点Q从C点出发以每秒2个单位长的速度向点B移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置所用的时间为t秒
（1）当时间t=3时，求线段PQ的长；
（2）当移动时间t等于何值时，△PCQ的面积为8cm²？
（3）点D为AB的中点，连结CD，移动P、Q能否使PQ、CD互相平分？若能，求出点P、Q移动时间t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AP=t，CQ=2t，
∴t=3时，AP=3，CQ=6，
∴PC=6-3=3
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ==3．
答：PQ=3；

（2）∵AP=t，CQ=2t，
∴PC=6-t．
∴（6-t）×2t=8，
解得：t₁=2，t₂=4．

（3）PQ、CD不互相平分．
当PQ、CD互相平分，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴PD∥CQ．PD=CQ．
∵点D为AB的中点，
∴P是AC的中点，
∴AP=AC=3，PD=CQ=BC=4．
∴t=≠．
∴PQ、CD不互相平分．
分析：（1）根据条件就有AP=t，CQ=2t，在Rt△PCQ中，由勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）由条件有PC=6-t，CQ=2t，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可；
（3）假设PQ、CD互相平分，就可以得出四边形PCQD是平行四边形，就有PD∥CQ，由点D为中点就可以得出P为AC的中点，就有PA=3，PD=4，就可以得出CQ=4，由运动时间可以得出3≠2，故得出结论PQ、CD不互相平分．
点评：本题是一道几何动点问题，考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的性质的运用．