Question

不等式x²+px＞4x+p-3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．

Answer 1

x＜-1或x＞3．
分析：不等式变形为x²-1＞（4-p）（x-1），然后讨论：当p=4时，x²-1＞0，利用二次函数图象求解集，得到x＞1或x＜-1；当p=0时，x²-4x+3＞0，利用二次函数的图象求解集，得到x＜1或x＞3；当0＜p＜4，得到x＞1或x＜-1；最后得到它们的公共部分即可．
解答：∵x²+px＞4x+p-3，
∴x²-1＞4x-px+p-4，
∴x²-1＞（4-p）x+p-4，
∴x²-1＞（4-p）（x-1），
当p=4时，x²-1＞0，画出函数y=x²-1的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x＞1或x＜-1；
当p=0时，x²-4x+3＞0，画出函数y=x²-4x+3的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x＜1或x＞3；
当0＜p＜4，
①当x＞1，不等式变形为x+1＞4-p＞0，解得x＞-1，则x＞1；
②当x＜1，不等式变形为x+1＜4-p，则x+1＜0，解得x＜-1，则x＜-1；
∴x＞1或x＜-1；
综上所述，实数x的取值范围为x＜-1或x＞3．
故答案为x＜-1或x＞3．
点评：本题考查了利用二次函数的图象解不等式：先要画出二次函数的图象，并且得到它与x轴的交点坐标，然后根据图象的位置确定对应的自变量的取值范围．