Question

（2010•秀洲区二模）如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．
（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）继续转动AB，使AB⊥BC，求此时台灯光线照在桌面上的面积？（假设桌面足够大）

Answer 1

【答案】分析：（1）过B作BD⊥AM于D，求出BD的长度为5，因为AB=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度数；
（2）AB⊥BC时，光线照在桌面上的轴截面是等腰直角三角形，斜边上的高等于BC的长度20，所以光线所照部分圆的半径为20，代入面积公式求解即可．
解答：解：（1）过点B作BD⊥AM于D，
∵AM=25cm，
∴AD=5cm，
又∵AB=10cm，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°．

（2）∵AB⊥BC，
∴AM=20cm，
设AP，AQ与桌面交于E，F，△AEF为等腰直角三角形，AM为斜边上的高，
∴ME=MF=20cm，
台灯照在桌面上的最大面积为π•20²=400πcm²．
点评：本题为等腰三角形与直角三角形相结合的题目，需要用到30°角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理和等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握性质并熟练运用是解题的关键．