Question

小李用换元法的数学思想求方程：（x²+1）²+4（x²+1）-5=0的解，他将（x²+1）看作一个整体设x²+1=y（y＞0），那么原方程可化为y²+4y-5=0，解得y₁=1，y₂=-5（不合题意，舍去）．当y=1时，x²+1=1，∴x²=0，∴x=0．故原方程的解为x=0，请利用这样的数学思想解答下面问题：
在△ABC中，∠C=90°，两条直角边的长分别为a、b，斜边的长为c，且（a²+b²）（a²+b²+1）=12，求斜边c的长．

Answer 1

解：设a ²+b²=x（x＞0），则（a ²+b² ）（a ²+b²+1）=12化为：x（x+1）=12，即x²+x-12=0，
解得：x ₁=3，x ₂=-4＜0 （不合题意，舍去），
∴a ²+b²的值为3，
∵∠C=90°，
∴a ²+b ²=c²，
∴c²=3，
∴c=
答：斜边c的长为．
分析：先设a ²+b²=x（x＞0），则（a ²+b² ）（a ²+b²+1）=12可化为x²+x-12=0，求出x的解，得出a ²+b²的值为3，根据∠C=90°，得出a ²+b ²=c²，即可求出斜边c的长．
点评：此题考查了换元法解一元二次方程，关键是把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换，再进行求解．