Question

某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：

（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；

（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）

  问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P₁，P₂三等分边AB，R₁，R₂三等分边AC．

经探究知＝S_△ABC，请证明．

  

    问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q₁，Q₂三等分边DC．请探究与S_{四边形ABCD}之间的数量关系．

    问题3：如图3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分边DC．若

S_{四边形ABCD}＝1，求．

 问题4：如图4，P₁，P₂，P₃四等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分边DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃

将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．请直接写出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一个等式．

Answer 1

解：问题1：∵P₁，P₂三等分边AB，R₁，R₂三等分边AC，

      ∴P₁R₁∥P₂R₂∥BC．∴△AP₁ R₁∽△AP₂R₂∽△ABC，且面积比为1:4:9…………..2分

     ∴＝S_△ABC＝S_△ABC                                                  ……………..1分

问题2：连接Q₁R₁，Q₂R₂，如图，由问题1的结论，可知

     ∴＝S_△ABC ，＝S_△ACD

     ∴＋＝S_{四边形ABCD}        ……………..2分

     由∵P₁，P₂三等分边AB，R₁，R₂三等分边AC，Q₁，Q₂三等分边DC，

     可得P₁R₁:P₂R₂＝Q₂R₂:Q₁R₁＝1:2，且P₁R₁∥P₂R₂，Q₂R₂∥Q₁R₁．

     ∴∠P₁R₁A＝∠P₂R₂A，∠Q₁R₁A＝∠Q₂R₂A．∴∠P₁R₁Q₁＝∠P₂R₂ Q₂．

      由结论（2），可知＝．

      ∴＝＋＝S_{四边形ABCD}．…………..2分

   问题3：设＝A，＝B，设＝C，

         由问题2的结论，可知A＝，B＝．……..1分

  A＋B＝(S_{四边形ABCD}＋C)＝(1＋C)．

   又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．

    整理得C＝，即＝       ……………..2分

    问题4：S₁＋S₄＝S₂＋S₃．                      ………………….2分