Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，弦AC与BD相交于点E，AD=，DE=2．
（1）求直径AB的长；
（2）在图2中，连接DO，DC，BC．求证：四边形BCDO是菱形；
（3）求图2中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵D是弧AC的中点，
∴∠DAC=∠B，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴=，
∴BD===6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB===4．

（2）∵在Rt△ABD中，AB=4，AD=2，
∴AB=2AD，
∴∠ABD=30°，∠DAB=60°，
∴∠ABD=∠DAC=∠CAB=30°，
∴CD=BC，
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴AB=2BC，
∴OB=OD=BC=CD，
∴四边形BCDO是菱形．

（3）连接OC，
∵OD=OB，∠DBA=30°，
∴∠ODB=∠OBD=30°，
∴∠DOB=120°，
∵四边形BCDO是菱形，
∴BD⊥OC，
∴菱形BCDO的面积是S=BD×OC=×6×2=6，
∵扇形BCD的面积是S′==4π，
∴S_阴影=S′-S=4π-6．
分析：（1）证△ADE∽△BDA，推出=，求出BD，根据勾股定理求出AB即可；
（2）求出AB=2AD，求出AB=2BC，推出OB=OD=BC=CD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠DOB，求出菱形BCDO和扇形DOB的面积，即可求出答案．
点评：本题综合考查了相似三角形的性质和判定，扇形的面积，菱形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，有一定的难度．