Question

如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④FH²=HE•HB，正确的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①③④

Answer 1

C
分析：根据正方形的性质及已知对各个结论进行分析，从而得到正确的个数．
解答：解：作EN⊥BD于N，连接EF．
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EN
∴等腰直角△DNE≌等腰直角△ECF，DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE==22.5°
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF
②∠HCF=90°-22.5°=67.5°，∠HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°
③GH=CF=CE，CE＜CG=BC，即CE＜BC．
④△BHF∽△FHE，故FH²=HE•HB
所以①②④正确，故选C．
点评：解答此题的关键是作出两条辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．