Question

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．
求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．

Answer 1

证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，
连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，
∵△ACB′为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点，
∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．
分析：根据费马点的定义，在BB′上取点P，使∠BPC=120°，再在PB′上取PE=PC，然后连接CE，根据等边三角形的判定可以证明△PCE是等边三角形，从而得到PC=CE，∠PCE=60°，根据角的关系可以推出∠PCA=∠ECB′，再利用边角边证明ACP与△B′CE全等，根据全等三角形对应边相等可得PA=EB′，∠APC=∠CEB′=120°，从而可得点P为△ABC的费马点，并且BB′=PA+PB+PC．
点评：本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，根据新定义，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．