Question

19．抛物线y=4x²-2ax+b与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m-2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x-m）（x-m+2），把C（0，4m）代入y=4（x-m）（x-m+2），求出m的值即可解决问题；
（2）设P（m，4m²-16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；
（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b＞0}\\{16-4a+b＞0}\\{4{a}^{2}-16b＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2a}{8}$＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．

解答 解：（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假设B（m，0），则A（m-2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x-m）（x-m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x-m）（x-m+2），得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4（x-3）（x-1），
∴y=4x²-16x+12，

（2）如图，设D（m，4m²-16m+12）．作DH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=-4x+12，
∴H（m，-4m+12），
∴S_△DBC=S_△DHC+S_△DHB=$\frac{1}{2}$•（-4m+12-4m²+16m-12）•3=-6（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{2}$，
∵-6＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△DBC面积最大，
此时D（$\frac{3}{2}$，-3）．

（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b＞0}\\{16-4a+b＞0}\\{4{a}^{2}-16b＞0}\end{array}\right.$且1＜-$\frac{-2a}{8}$＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．