Question

3．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（a+b）ⁿ（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如：
1（a+b）⁰=1
11（a+b）¹=a+b
121（a+b）²=a²+2ab+b²
1331（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
14641（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
（1）请利用以上规律，写出（a+b）⁵的展开式的系数．
 （a+b）⁵=1a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵．
（2）请利用以上规律计算下列式子的值；
①-2×3⁵+10×3⁴-20×3³+20×3²-10×3+2=-64．
②3⁶-5×3⁵+10×3⁴-10×3³+5×3²-3=160．
（3）请利用以上规律求出（2x-1）⁶展开式中a₁+a₂+a₅的值．
（2x-1）⁶=a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀．

Answer 1

分析 （1）结合题意画出对应“杨辉三角”，根据图形可得结果；
（2）①提取-2后，可得原式=-2[3⁵+5×3⁴×（-1）+10×3³×（-1）²+10×3²×（-1）³+5×3×（-1）⁴+（-1）⁵]=-2×（3-1）⁵，可得答案；
②提取3后，得原式=3[3⁵+5×3⁴×（-1）+10×3³×（-1）²+10×3²×（-1）³+5×3×（-1）⁴+（-1）⁵]=3×（3-1）⁵，可得答案；
（3）利用以上规律，得（2x-1）⁶=（2x）⁶+6×（2x）⁵×（-1）+15×（2x）⁴×（-1）²+20×（2x）³×（-1）³+15×（2x）²×（-1）⁴+6×（2x）×（-1）⁵+（-1）⁶，计算a₁+a₂+a₅可得答案．

解答 解：（1）如图，

则（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
故答案为：1、5、10、10、5、5、1；
（2）①原式=-2[3⁵+5×3⁴×（-1）+10×3³×（-1）²+10×3²×（-1）³+5×3×（-1）⁴+（-1）⁵]=-2×（3-1）⁵=-2×2⁵=-64；
②原式=3（3⁵-5×3⁴+10×3³-10×3²+5×3-1）
=3[3⁵+5×3⁴×（-1）+10×3³×（-1）²+10×3²×（-1）³+5×3×（-1）⁴+（-1）⁵]
=3×（3-1）⁵
=3×2⁵
=160，
故答案为：-64、160；

（3）∵（2x-1）⁶=（2x）⁶+6×（2x）⁵×（-1）+15×（2x）⁴×（-1）²+20×（2x）³×（-1）³+15×（2x）²×（-1）⁴+6×（2x）×（-1）⁵+（-1）⁶，
∴a₁+a₂+a₅=6×2×（-1）⁵+15×2²×（-1）⁴+6×2⁵×（-1）=-12+60-192=-144．

点评 本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）ⁿ中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．