Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴为直线x=-1，点E为线段AC的中点，点F为x轴上一动点．
（1）直接写出点B的坐标，并求出抛物线的函数关系式；
（2）当点F的横坐标为-3时，线段EF上存在点H，使△CDH的周长最小，请求出点H，使△CDH的周长最小，请求出点H的坐标；
（3）在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据勾股定理，可得CF的长，根据等腰三角形的性质，可得A，C关于EF对称，根据轴对称的性质，可得PA=PC，根据两点之间线段最短，可得P是AD与EF的交点，根据解方程组，可得答案；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）由A、B关于x=-1对称，得
B（-4，0），
∵抛物线y=ax²+bx-4过A（2，0）、B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-4=0}\\{16a-4b-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+x-4，
（2）如图1，
当x=0时，y=-4，即C（0，-4），
y=$\frac{1}{2}$x²+x-4=$\frac{1}{2}$（x+1）²-$\frac{9}{2}$
∴D（-1，-$\frac{9}{2}$），
∵E为线段AC的中点，A（2，0），C（0，-4），
∴E（1，-2）．
∵点F横坐标为-3，
∴F（-3，0），
∴AF=5，CF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AF=CF，
∵E为线段AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴A、C关于直线EF轴对称，连接AD，与直线EF交点即为所求H，
∴EF⊥AC．
设直线EF关系式为y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+{b}_{1}=2}\\{-3{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线EF：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设直线AD关系式为y=k₂x+b₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+{b}_{2}=2}\\{-{k}_{2}+{b}_{2}=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{2}}\\{{b}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-3，
联立AD，EF，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{3}{4}$，-$\frac{15}{8}$）．

（3）若CD为对角线，不存在；
若CD为边，则PF∥CD且PF=CD，
∵C（0，-4），D（-1，-$\frac{9}{2}$），点F为x轴上一动点，
如图2，
PDCF是平行四边形，对角线的纵坐标为-$\frac{9}{4}$，P点纵坐标-$\frac{1}{2}$，
当y=-$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$x²+x-4=-$\frac{1}{2}$，解得x₁=-1+2$\sqrt{2}$（舍），x₂=-1-2$\sqrt{2}$，
∴P₁（-1-2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
如图3，
PFDC是平行四边形，对角线的交点坐标为-2，P点坐标为$\frac{1}{2}$，
当y=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$x²+x-4=$\frac{1}{2}$，解得x₁=-1+$\sqrt{10}$（舍），x₂=-1-$\sqrt{10}$，
∴P₂（-1-$\sqrt{10}$，$\frac{1}{2}$）．
综上所述：在y轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标（-1-2$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$），（-1-$\sqrt{10}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用等腰三角形的性质得出A，C关于EF对称，又利用了两点之间线段最短，解方程组；解（3）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系．