Question

已知xyzt=1，求下面代数式的值：

1

1+x+xy+xyz

+

1

1+y+yz+yzt

+

1

1+z+zt+ztx

+

1

1+t+tx+txy

．

Answer 1

分析：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同，再计算就简单了．

解答：解：根据分式的基本性质，

1

1+x+xy+xyz

=

t

t+xt+xyt+xyzt

，
∵xyzt=1，
∴

1

1+x+xy+xyz

=

t

t+xt+xyt+xyzt

=

t

t+xt+xyt+1

；
同理，

1

1+y+yz+yzt

=

tx

tx+txy+1+t

，

1

1+z+zt+ztx

=

txy

txy+1+t+tx

，
∴原式=

t+tx+txy+1

t+xt+xyt+1

=1．

点评：此题考查分式的化简求值，同时利用了分式的基本性质，解答过程有难度．