Question

如图所示，直角梯形的直角顶点是坐标原点，边、分别在轴、轴的正半轴上，，是上一点，，其中点、分别是线段、上的两个动点，且始终保持。

1.直接写出点的坐标

2.求证：;

3.当是等腰三角形时，△AEF关于直线EF的对称图形为，求与五边形OEFBC的重叠部分的面积.

                                         备用图

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：..……..1分

2.证明：由，知，

  

者利用外角证明：∠OEF＝∠OED＋∠DEF＝∠A＋∠EFA，∵∠DEF＝∠A＝45°，.……..3分

3.解：分三种情况来计算：

第一种情况：，此时，

  .……..4分

第二种情况 ：，此时，

.……..5分

第三种情况：，

此时△，△均为等腰三角形，

且可求＜，∴△在五边形内部，

..……..7分

综上：＝，1，.

【解析】（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；

（2）先求出∠OED、∠AFE与∠FEA的等量关系，从而得出；

（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：

①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；

②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；

③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．