Question

已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：BE=CF．

Answer 1

证明：方法一：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

方法二：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．
分析：方法一：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角边”证明△AED和△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
方法二：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用，本题难点在于要进行二次三角形全等的证明．