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【题目】如图,在ABCD中,BAC=90°,对角线AC,BD相交于点P,以AB为直径的O分别交BC,BD于点E,Q,连接EP并延长交AD于点F.

(1)求证:EF是O的切线;

(2)求证:=4BPQP.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)连接OE,AE,由AB是O的直径,得到AEB=AEC=90°,根据四边形ABCD是平行四边形,得到PA=PC推出OEP=OAC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)由AB是O的直径,得到AQB=90°根据相似三角形的性质得到=PBPQ,根据全等三角形的性质得到PF=PE,求得PA=PE=EF,等量代换即可得到结论.

试题解析:(1)连接OE,AE,AB是O的直径,∴∠AEB=AEC=90°,四边形ABCD是平行四边形,PA=PC,PA=PC=PE,∴∠PAE=PEA,OA=OE,∴∠OAE=OEA,∴∠OEP=OAC=90°,EF是O的切线;

(2)AB是O的直径,∴∠AQB=90°,∴△APQ∽△BPA,=PBPQ,在AFP与CEP中,∵∠PAF=PCE,APF=CPE,PA=PC∴△AFP≌△CEP,PF=PE,PA=PE=EF,=4BPQP.

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