Question

猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．
（1）如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；
（2）如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；
（3）如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；

（4）猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？
（已知：AC=40，BC=30，∠C=90°）

Answer 1

考点：相似三角形的应用,正方形的性质

专题：规律型

分析：（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，设出正方形的边长为x，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的边长；
（2）作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长；
（3）作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长；
（4）同理可得正方形的边长．

解答：解：（1）在图1中作△ABC的高CN交GF于M，
在Rt△ABC中，∵AC=40，BC=30，∴AB=50，CN=24．
由GF∥AB，得△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

．
设正方形的边长为x，则

24-x

24

=

x

50

，
解得x=

600

37

．
即正方形的边长为

600

37

．

（2）方法同（1），如图2．
△CGF∽△CAB，则

CM

CN

=

GF

AB

．
设小正方形的边长为x，
则

24-x

24

=

2x

50

，
解得x=

600

49

．
即小正方形的边长为

600

49

．

（3）在图3中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
设每个正方形的边长为x，
则

24-x

24

=

3x

50

，
∴x=

600

61

；

（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：
则

24-x

24

=

nx

50

，
则x=

600

12n+25

．
∴每个小正方形的边长为

600

12n+25

．

点评：此题综合考查了正方形、矩形、相似三角形的性质及勾股定理．要求学生掌握相似三角形的对应高之比等于相似比，注意此题虽有四问，但是方法雷同，只是比例式中GF代入的式子不同，应根据图形正方形的个数来确定．