Question

已知抛物线的顶点为P（－4，－），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

y=x2+4x-；存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

【解析】

试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）2-，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；

（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-），

∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2-

∵抛物线过点B（1，0），

∴a（1+4）2-=0，

解得a=，

所以，抛物线解析式为y=（x+4）2-，

即y=x2+4x-；

（2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-），

∴点D的坐标为（-4，0），

令x=0，则y=-，

令y=0，则x2+4x-=0，

整理得，x2+8x-9=0，

解得x1=1，x2=-9，

∴点A（-9，0），C（0，-），

∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，

在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=

∴sin∠OAC=

cos∠OAC=，

①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，

根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×，

Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4，

AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8，

所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，

所以，点Q1的坐标为（-1，-4）；

②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，

Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，

AE2=AQ2•cos∠OAC=5×=2，

所以，OE2=OA-AE2=9-2，

所以，点Q2的坐标为（2-9，-）；

③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，

则AE3=AD=×5=，

所以，OE3=9-=，

∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，

∴△AQ3E3∽△ACO，

∴，

即，

解得Q3E3=，

所以，点Q3的坐标为（-，-），

综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得△ADQ为等腰三角形．

考点：二次函数综合题．