Question

如图．直线y=-x+b（b＞0）与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M．BN⊥x轴于N；
（1）证明：①OA=OB；②△AOM≌△BON；
（2）若∠AOB=45°．
①求S_△AOB（用含K的代数式表示）；
②当b=2时，延长MA，NB交于点P，求P的坐标．

Answer 1

（1）证明：设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
联立得，x²-bx+k=0，
∴x₁•x₂=k，
又∵点A、B都在双曲线y=上，
∴x₁•y₁=k，x₂•y₂=k，
∴x₁=y₂，x₂=y₁，
即AM=BN，OM=ON，
∵AM⊥y轴于M．BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△AOM和△BON中，
∵，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴OA=OB，
即：①OA=OB；②△AOM≌△BON；

（2）解：①如图，过O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∴∠AOC=∠BOC=22.5°，
∵△AOM≌△BON（已证），
∴∠AOM=∠BON=（90°-45°）=22.5°，
∴△AOM≌△AOC≌△BOC≌△BON（AAS），
∴S_△AOB=S_△AOM+S_△BON，
∵S_△AOM=x₁•y₁=k，S_△BON=x₂•y₂=k，
∴S_△AOB=k+k=k；
②如图，设直线AB与y轴的交点为D，
∵b=2，
∴当x=0时，y=-0+b=b=2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，
又∵∠COD=22.5°×2=45°，OC⊥AB，
∴OC=×2=，
∴OM=ON=，
∴点P的坐标为（，）．
分析：（1）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，再根据反比例函数的性质以及根与系数的关系列式可得x₁=y₂，x₂=y₁，然后利用“边角边”证明△AOM和△BON全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB；
（2）①过O作OC⊥AB于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AOC=∠BOC=22.5°，再根据全等三角形对应角相等可得∠AOM=∠BON=22.5°，然后利用“角角边”证明△AOM、△AOC、△BOC、△BON全等，根据全等三角形的面积相等可得△AOB的面积等于△AOM与△BON的面积的和，再根据反比例函数系数的何意义解答；
②设直线AB与y轴的交点为D，利用直线解析式求出点D的坐标，从而得到OD的长度，再根据等腰直角三角形的性质求出OC的长度，也就是OM、ON的长度，然后根据点P在第一象限写出坐标即可．
点评：本题综合考查了反比例函数的问题，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标的方法，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数系数的几何意义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度较大，考虑利用根与系数的关系的关系求解是本题的关键，也是突破口．