Question

如图，已知抛物线y=x²-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）配方，得y=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）．
取x=0代入y=x²-2x+1，
得y=1，
∴点A的坐标是（0，1）．
由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入，
有，
解得∴
∴直线l的解析式为y=x-3．

（2）连接AD交O′C于点E，
∵点D由点A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，点C的坐标为（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2．
据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，
∴AE=，AD=2AE=．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，
∴，
∴AF=•AC=，DF=•O′A=，
又∵OA=1，
∴点D的纵坐标为1-=-，
∴点D的坐标为（，-）．

（3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴点P是线段BC的中点，
∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S_△DPC，
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C（0，-3）、D（，-）的直线的解析式为y=x-3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x-．
令x²-2x+1=x-，
解得x₁=2，x₂=，
代入y=x-，得y₁=-1，y₂=，
因此，抛物线上存在两点Q₁（2，-1）（即点P）和Q₂（，），使得S_△DQC=S_△DPB．
（仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分）
分析：（1）根据题意，可以求得点P，A，B，O′的坐标，因为直线l过点B，P，所以利用待定系数法即可求得；
（2）根据（1）的结果可求得点C的坐标，根据折叠的知识可得：∠CDO′=∠CAO′=90°，O′C是AD的垂直平分线，连接AD，作DF⊥AB于点F，利用相似三角形与直角三角形的性质即可求得；
（3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴点P是线段BC的中点，∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S_△DPC，
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x-．根据题意还可求得，抛物线上存在两点Q₁（2，-1）（即点P）和Q₂（，），使得S_△DQC=S_△DPB．
点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．
此题考查了二次函数与一次函数，折叠问题的综合应用，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．