Question

在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）在旋转过程中，试判断等式BD²+CE²=DE²是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似；
（2）由勾股定理，得CA=BA=

2

，由（1）的相似三角形，利用相似比求m、n的关系式；
（3）成立．利用旋转法将△ACE旋转到△ABH的位置，则∠HBD=∠HBA+∠ABD=45°+45°=90°，连接DH，证明△EAD≌△HAD，得DH=DE，在Rt△BDH中，利用勾股定理证明结论．

解答：（1）证明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA（2分），
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA（4分）；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

=

BA

CD

（5分）
由依题意可知CA=BA=

2

，
∴

m

2

=

2

n

，
∴m=

2

n

（7分）
自变量n的取值范围为1＜n＜2．（8分）

（3）成立（9分）
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²
即BD²+CE²=DE²．

点评：本题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质．关键是通过图形的旋转，将条件“相对集中”．