Question

图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，请你利用该图形构造一个以BD所在直线为对称轴且与△ABD全等的三角形
（1）如图2，在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°，BD是∠ABC的角平分线，请你判断并写出AB、AD、BC之间的数量关系

BC=AB+AD

（2）如图3，在△ABC中，∠C=40°，而（1）中的其他条件不变，请你判断AD、BD、BC之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析：（1）先计算出∠ABC，在BC上截取BE=AB，则△ABD≌△EBD，从而得出AB、AD、BC之间的数量关系；

解答：解：作出全等图形得（1分）
（1）BC=AB+AD…（2分）

（2）BC=BD+AD
证明：方法一：
在BC上截取BE=AB，连接DE，在BC上截取BF=BD，连接DF…（3分）
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD
在△ABD和△EBD中
AB=BE
∠ABD=∠CBD
BD=BD
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=DE…（4分）
∠DEB=∠A=100°
∴∠DEC=80°，
∵∠A=100°，∠C=40°
∴∠ABC=40°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=20°
∵BD=BF，
∴∠BFD=80°
∠DEC=∠BFD=80°，
∴DE=DF…（5分）
∵∠DFB=80°，∠C=40°
∴∠CDF=40°，
∴DF=CF
∴AD=CF
∴BC=BF+CF=BD+AD…（7分）
方法二：延长BD到F，使DF=AD，在BC上
截取BE=AB，通过证△ABE≌△DBE和
△CDF≌△CDE得到AD=DF；再证明BC=BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，是一道综合性较强的题目，难度较大．