Question

如图，直线y=kx+b交反比例函数y=的图象于点A（4，m）和点B，交x轴于点C，交y轴于点E（0，-2）
（1）求C点的坐标；
（2）在y轴上是否存在点D使CD=DA？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）取C点关于y轴的对称点F，连EF，点P为△CEF外一点，连PE，PF，PC，当P在△CEF外运动时，若∠EPF=30°，有两个结论：①PE²+PF²=PC² ②PE+PF=PC+EF，其中只有一个结论正确，作选择并证明．

Answer 1

解：（1）∵点A（4，m）在反比例函数y=的图象上，
∴m==2，
∴点A的坐标为（4，2），
∵点A（4，2），点E（0，-2）都在直线y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直线解析式为y=x-2，
令y=0，则x-2=0，
解得x=2，
∴点C的坐标为（2，0）；

（2）y轴上存在点D（0，2），使CD=DA．
理由如下：设点D的坐标为（0，y），
则CD=，
AD=，
∵CD=DA，
∴=，
两边平方并整理得，4y-24=0，
解得y=2，
∴y轴上存在点D（0，2），使CD=DA；

（3）结论①PE²+PF²=PC²正确．
理由如下：∵点C坐标为（2，0），点E坐标为（0，-2），
∴CE===4，tan∠ECO===，
∴∠ECO=60°，
又∵点F、C关于y轴对称，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等边三角形，
如图，把△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△P′C′E，连接PP′，
则点E与点F重合，△PP′C为等边三角形，
根据三角形的外角性质，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故结论①正确，结论②错误．
分析：（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，然后令y=0，求解即可得到点C的坐标；
（2）设点D的坐标为（0，y），利用两点间的距离公式列式进行计算，如果方程有解，则存在，否则不存在；
（3）先求出△CEF是等边三角形，再把△PCE绕点C顺时针旋转60°得到△P′C′E，连接PP′，则△PP′C为等边三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PFP′=∠EPF+∠PCP′=90°，再根据勾股定理可得P′E′²+PF²=PP′²，也就是PE²+PF²=PC²，从而得到第一个结论正确，第二个结论错误．
点评：本题综合考查了反比例函数的问题，主要利用了点在反比例函数图象上，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，（3）利用旋转变换和三角形的外角性质把∠EPF=30°与60°的角转化为一个直角从而得到直角三角形是解题的关键．