如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO=AB．
（1）求点B的坐标．

（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．
①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．

②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．

分析：（1）欲求B点坐标，则求等腰三角形底边OB的长度即可．过点A作底边的垂线，根据等腰三角形三线合一的性质解答；
（2）①DO=BC．根据“AAS”证明△AOD≌△ABC；
②DE+EF=BC．
证法一：借鉴①的思路，过点E作EG⊥BC于G点，交AB于H点．易得：△DEH≌△GBH，DE=BG；四边形EFCG是矩形，
EF=CG．
证法二：运用“等积法”证明．连接AE，则S_△AOE+S_△ABE=S_△AOB．分别把AO、AB当作三角形的底边，EF、DE、BC看作相应的高表示面积求解．

解答：

解：（1）过A作AM⊥OB于M．
∵A的坐标是（2，1），
∴OM=2．
又∵AO=AB，
∴OB=4．（2分）
∴B的坐标是（4，0）．（3分）
（2）①OD=BC．（4分）
证明：在△ODA与△BCA中，

∠D=∠C=90

∠DAO=∠CAB

AO=AB

，
∴△ODA≌△BCA．（AAS）
∴OD=BC．（7分）
②DE+EF=BC．（8分）
方法一：连接AE．
S_△ABO=

OA．BC，
S_△ABO=S_△ABE+S_△AEO
=

AB．DE+

OA．EF，
=

OA（DE+EF），
∴DE+EF=BC．（10分）
方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．
再利用△DEH≌△GBH得到DE=BG．

点评：此题考查等腰三角形的性质及三角形全等的判定和性质等知识点，综合性较强．

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（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

（2，2）

．

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