Question

（2012•南岗区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为一边在其右侧作矩形ABCD，AB=2BC．
（1）求点D的坐标；
（2）作∠AOB的平分线交CD边于E，点P从点O出发，以3

2

个单位每秒的速度向终点E运动，过点P作x轴的平行线，交边AB于点M，交矩形另一边于点N，连接EM、EN，点P运动时间为t秒，△EMN的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CM、CN，当t为何值时，CM=CN．

Answer 1

分析：（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，构建相似三角形：△AOB∽△ADK；利用相似三角形对应边成比例的性质求得相似比是

1

2

，然后由图形与坐标的性质来求点D的坐标；
（2）需要分类讨论：①如图2：M在AB上，N在AD上；②如图3：M在AB上，N在CD上；
（3）需要分类讨论：①如图4：M在AB上，N在AD上；②如图5：M在AB上，N在CD上．

解答：解：（1）如图1，过点D作DK⊥x轴于K，易证△AOB∽△ADK，
∴

OA

DK

=

OB

AK

=

AB

AD

．
∵AB=2BC，BC=AD
∴

AB

AD

=

2

1

OA=2DK，OB=2AK
∵直线y=-3x+9交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，9），OA=3，OB=9．
∴DK=

3

2

，AK=

9

2

，∴OK=

15

2

，∴D（

15

2

，

3

2

）；

（2）∵AB∥DC，直线AB的解析式为y=-3x+9
∴设直线CD的解析式为：y=-3x+b，
∵直线CD经过点D（

15

2

，

3

2

），
∴

3

2

=-3×

15

2

+b，
∴b=24，
∴直线CD的解析式为：y=-3x+24．
∵OE与直线CD交于点E；
∴E（6，6）．
①如图2：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在AD上时，此时0＜t≤

1

2

，S=

1

2

MN•EQ=

1

2

×10t×（6-3t）=-15t²+30t

②如图3：过点E作EQ⊥MN于点Q．M在AB上，N在CD上时，此时

1

2

＜t＜2，S=

1

2

MN•EQ=

1

2

×5×（6-3t）=-

15

2

t+15


（3）①如图4：M在AB上N在AD上时，在Rt△BCM中，可求：BC=

3

2

10

，
BM=3

10

-

10

t，
在Rt△CND中，可求：DC=3

10

，
DN=

3

2

10

-3

10

t，
∴根据勾股定理，得
CM²=CN²，即(

3

2

10

)2+（3

10

-

10

t）²=（3

10

）²+（

3

2

10

-3

10

t）²，
可解t₁=0，t₂=

3

8

∵0＜t≤

1

2

，∴t=

3

8

．

②如图5：M在AB上，N在CD上时，
此时CM=CN．
在Rt△BCM中，可求：BC=

3

2

10

，
BM=3

10

-

10

t，
可求CT=

21

2

-3t，TN=

1

2

MN=

5

2

，
tan∠TCN=tan∠OBA=

1

3

，
∴

5 2

21 2 -3t

=

1

3

，
∴t=1．
综上所述：t=

3

8

或t=1时，CM=CN．

点评：本题考查了一次函数的综合运用以及三角形的面积计算等知识，重点考查考生利用数形结合解题的能力．