Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax²-ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，去分析则可求得答案．

解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BDC≌△COA，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线y=ax²-ax-2过点B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

1

2

x-2；

（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图（1），
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），经检验点P₁在抛物线y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，
得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图（2），
同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（-2，1），经检验P₂（-2，1）也在抛物线y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，
得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图（3），
同理可证△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
∴P₃（2，3），经检验P₃（2，3）不在抛物线y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
故符合条件的点有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）两点．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性和强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用．