Question

【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+

a

x

）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+

1

x

（x＞0）的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

【解决问题】
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

Answer 1

分析：（1）①把x的值代入解析式计算即可；②根据图象所反映的特点写出即可；③根据完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，进行配方即可得到最小值；
（2）根据完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，进行配方得到y=2[(

x

-

a x

)2+2

a

]，即可求出答案．

解答：解：（1）①故答案为：

17

4

，

10

3

，

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
函数y=x+

1

x

的图象如图：
②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．
③y=x+

1

x

=

x2+1

x

=

x2-2x+1

x

+2=

(x-1)2

x

+2，
∵x＞0，所以

(x-1)2

x

≥0，
所以当x=1时，

(x-1)2

x

的最小值为0，
∴函数y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为

a

时，它的周长最小，最小值是4

a

．

点评：本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．