Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥
AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。

求证：（1）EF是⊙O的切线；
           （2）△OBF∽△DEC。

Answer 1

证明：（1）连结OD，
             ∵AB是⊙O的直径，
             ∴OA=OB，
             又∵CD=BD，
             ∴OD∥AC，
             ∵DE⊥AC，
             ∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，
             ∵点D是⊙O上一点，
             ∴EF是⊙O的切线。
（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直径，
         ∴BF是⊙O的切线，
         ∵EF是⊙O的切线，
         ∴∠BFO=∠DFO，FB=FD，
         ∴OF⊥BD，
         ∵∠FDB=∠CDE，
         ∴∠OFD=∠C，
         ∴∠C=∠OFB，
         又∵∠CED=∠FBO=90°，
         ∴△OBF∽△DEC。