Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE=β．

（1）如图1，若α=90°，求β的大小；
（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明，若不成立，试找出α与β之间的新关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB．
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC．
∴∠ECA=∠B=45°．
∴β=∠ACB+ECA=90°．

（2）α+β=180°．
证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β．
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°．

（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论不能成立，此时：α=β成立．
其理由如下：
类似（2）可证∴△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA，
又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
分析：（1）先利用边角边定理证明△DAB与△EAC全等，再根据全等三角形的对应角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；
（2）方法同（1）证出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根据三角形内角和定理即可得到α+β=180°；
（3）方法同（2）证出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β．
点评：本题主要考查三角形等腰三角形的性质及全等的判定和全等三角形的对应角相等，做题中，注意题中各角度之间的关系并灵活运用是解题的关键．