Question

如图，直线向右平移a个单位后得到直线l，l与函数（x＞0）相交于点A，与x轴相交于点B，且OB=AB，若OA²-OB²=8，则k=________．

Answer 1

分析：过A作AC垂直于x轴交x轴于C，因为直线l是由y=x平移得到的，所以直线l与x轴的夹角∠ABC=60°，由OB=BA得到∠AOB与∠OAB相等都等于30°，且∠BAC=30°，设出AC的长，表示出OA和OB，代入已知的OA²-OB²=8中，即可求出AC和OC的长确定出点A的坐标，把求出的A的坐标代入到反比例解析式y=中，即可求出k的值．
解答：解：如图，过A作AC垂直于x轴交x轴于C，
由直线l是直线y=x平移得到的，所以tan∠ABC=，即∠ABC=60°，
又OB=AB，所以∠AOB=∠OAB=30°，
设AC=m，则OA=2m，根据勾股定理得到OC=m，
又△ABC为直角三角形，∠BAC=30°，
则tan30°=，即BC=m，
所以OB=OC-BC=m-m=m，
又∵OA²-OB²=8，即4m²-m²=8，
解得：m=，
则OC=3，AC=，即点A坐标为（3，），
把A坐标代入y=中，得到k=3．
故答案为：3．
点评：此题考查30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及待定系数法求反比例解析式．解本题的关键是平移前后的两直线平行，得到两直线与x轴所夹的锐角相等，求出∠ABC的度数．