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    我们知道两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2，当k1=k2时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
    （1）画一画 
    在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=
    1
    2
    x-1，y=-
    1
    2
    x+2的图象；
    （2）想一想 
    仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当
    k1•k2=-1
    k1•k2=-1
    时，两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2的图象相互垂直；
    （3）用一用 
    利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=
    1
    2
    x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．
    分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，然后根据两点确定一条直线，利用两点法作出直线图象即可；
    （2）结合图象根据互相垂直的两直线解析式的k值解答；
    （3）根据（2）的结论求出直线AP的k值，然后求出直线AP的解析式，与OA的解析式联立求解得到点A的坐标，再利用勾股定理求出OA的长度，再次利用勾股定理求出PA的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．
    解答：解：（1）①x=0时，y=1，y=0时，2x+1=0，解得x=-
    1
    2
    ，
    所以，直线y=2x+1经过点（0，1）（-
    1
    2
    ，0），
    ②当x=0时，y=3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=
    3
    2
    ，
    所以，直线y=-2x+3经过点（0，3）（
    3
    2
    ，0），
    ③当x=0时，y=-1，当y=0时，
    1
    2
    x-1=0，解得x=2，
    所以，直线y=
    1
    2
    x-1经过点（0，-1）（2，0），
    ④当x=0时，y=2，当y=0时，-
    1
    2
    x+2=0，解得x=4，
    所以，直线y=-
    1
    2
    x+2经过点（0，2）（4，0），
    作图如图所示；

    （2）由图可知，y=2x+1与y=-
    1
    2
    x+2垂直，y=-2x+3与y=
    1
    2
    x-1垂直，
    ∵2×（-
    1
    2
    ）=-1，-2×
    1
    2
    =-1，
    ∴猜想当k1•k2=-1时，y=k1x+b1，y=k2x+b2的图象相互垂直；
    故答案为：k1•k2=-1；

    （3）根据（2）的结论，
    ∵正比例函数y=
    1
    2
    x的图象和⊙P相切于点A，
    ∴直线AP的k值等于-2，
    所以，设直线AP的解析式为y=-2x+b，
    ∵OP=3，
    ∴点P的坐标为（3，0），
    ∴-2×3+b=0，
    解得b=6，
    ∴直线AP的解析式为y=-2x+6，
    联立
    y=-2x+6
    y=
    1
    2
    x
    ，
    解得
    x=
    12
    5
    y=
    6
    5
    ，
    所以，OA=
    		(
    12
    5
    )    2    +(
    6
    5
    )    2
    =
    6
    5
    		5
    ，
    AP=
    		OP2-OA2
    =
    		9-
    36
    5
    =
    3
    5
    		5
    ，
    ⊙P的面积=π•AP2=π•（
    3
    5
    		5
    ）2=
    9
    5
    π．
    点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及利用两点法作一次函数图象，联立两直线解析式求直线的交点，勾股定理的应用，是综合题，但难度不大，读懂题目信息，准确作出图形是解题的关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y=
    k
    x+2
    (k≠0)    的图象是由反比例函数y=
    k
    x
    (k≠0)    的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．
    如图，已知反比例函数y=
    4
    x
    的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．
    （1）写出点B的坐标，并求a的值；
    （2）将函数y=
    4
    x
    的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．
    ①求n的值；
    ②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；
    ③直接写出不等式
    4
    x-1
    ≤ax-1    的解集．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们知道在平面直角坐标系中，二次函数y=-（x-1）2+2的图象可以由二次函数y=-x2的图象先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到．由此我们是否可以联想其它类型的函数也可以进行类似的平移呢？小明和小华两位同学对于这个问题进行了如下思考：
    （1）现把一次函数y=-x的图象向上平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为
    y=-x+1
    y=-x+1
    ；若再向右平移3个单位后的图象的解析式为
    y=-x+4
    y=-x+4
    ．
    （2）如果把反比例函数y=
    3
    x
    的图象向上平移2个单位得反比例函数
    y=
    3
    x
    +2
    y=
    3
    x
    +2
    的图象，若再向右平移2个单位后可以得到反比例函数
    y=
    3
    x-2
    +2
    y=
    3
    x-2
    +2
    的图象；
    （3）函数y=
    2x+1
    x+1
    的图象可以由函数y=-
    1
    x
    图象如何平移得到的；
    （4）已知反比例函数y=
    3
    x
    的图象将此函数向右平移2个单位后，再进行上下平移，使新函数的图象与坐标轴的两个交点与原点构成一个等腰三角形，求新函数的解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    我们知道两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2，当k1=k2时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
    （1）画一画
    在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=数学公式x-1，y=-数学公式x+2的图象；
    （2）想一想
    仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当______时，两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2的图象相互垂直；
    （3）用一用
    利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=数学公式x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

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    科目：初中数学 来源：2009年内蒙古乌海市中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    我们知道两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2，当k1=k2时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
    （1）画一画 
    在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=x-1，y=-x+2的图象；
    （2）想一想 
    仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当______时，两个一次函数y=k1x+b1，y=k2x+b2的图象相互垂直；
    （3）用一用 
    利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

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