Question

3．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}-1$）=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1…
（1）观察上面规律，计算下面的式子$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
（2）利用上面的规律
比较$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$与$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；
（2）根据上面的规律可以比较$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$与$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$的大小．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
=$（\sqrt{2}-1）+（\sqrt{3}-\sqrt{2}）+（\sqrt{4}-\sqrt{3}）$+…+（$\sqrt{100}-\sqrt{99}$）
=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$$+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}-1$
=10-1
=9；
（2）∵$\sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{（\sqrt{11}-\sqrt{10}）（\sqrt{11}+\sqrt{10}）}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，
$\sqrt{12}-\sqrt{11}=\frac{（\sqrt{12}-\sqrt{11}）（\sqrt{12}+\sqrt{11}）}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
又∵$\sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}＞\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
即$\sqrt{11}-\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}-\sqrt{11}$．

点评 本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．