Question

已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得

    解得

∴抛物线的解折式为．

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为

则E（，）．

又∵点E在直线上，

∴．  

解得（舍去），．

∴E的坐标为（4，3）．

（Ⅰ）当A为直角顶点时

过A作交轴于点，设．

    易知D点坐标为（，0）．

由得

即，∴．

∴．

（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（，0）．）

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作轴于，设．

由，得．

．

由得．

解得，．

∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

（3）抛物线的对称轴为．

∵B、C关于对称，

∴．

要使最大，即是使最大．

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．

易知直线AB的解折式为．

∴由   得   ∴M（，－）．