Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．点M（m，n）是直线BC上的一个动点，设△MAC的面积为S．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求S关于m的函数解析式；
（3）是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵BA=AC=4，
∴B（0，4），C（4，0），
∴b=4，k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

（2）∵点M（m，n）是直线BC上的一个动点，
∴S=S_△MAC
=

1

2

×AC×n
=2n
=2（4-m）
=-2m+8，
∴S=-2m+8，

（3）存在这样的M，
①如图1，当∠ACM为顶角时，则AC=MC，
作MG⊥AB，MH⊥AC，
∵AC=AB=4，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴CM=4，BC=4

2

，
∴BM=4

2

-4，
∵∠ABC=45°，
∴BG=MG，
∴BG=MG=4-2

2

，
∴AG=MH=2

2

，
∴M（4-2

2

，2

2

），

②如图2，当∠ACM为底角时，则MA=MC，
作MF⊥AB，ME⊥AC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴当M点为BC的中点时，MA=MC，
∵AC=AB=4，
∴MF=ME=2，
∴M（2，2），

③如图3，当M点与B点重合时，当∠ACM为底角时，则MA=AC，
∵B（0，4），
∴M（0，4），
④当M在第四象限时，AC=CM=4，过M作MD⊥x轴，连接AM，如图所示：

∵∠BAC=∠MDC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ACB∽△DCM，
∴

AB

MD

=

AC

CD

，又AB=AC=4，
∴MD=CD=4×

2

2

=2

2

，AD=AC+CD=4+2

2

，
∴M₄（4+2

2

，-2

2

），
∴M点的坐标分别为：M₁（2，2），M₂（0，4），M₃（4-2

2

，2

2

），M₄（4+2

2

，-2

2

）．