Question

14．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，过C作⊙O的切线PC，切点为D，与直线BC相交于C，与直线AB相交于P．
（1）求证：AD∥OC；
（2）试探究线段PA，PB，PD之间的等量关系，并加以证明；
（3）当CD=PD，且OC=4时，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由CD与CB都为圆O的切线，利用切线的性质及垂直定义得到一对直角相等，利用HL得到直角三角形ODC与直角三角形OBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）PD²=PA•PB，理由为：连接BD，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形PAD与三角形DPB相似，由相似得比例即可得证；
（3）由AD与OC平行，得到三角形PAD与三角形CPO相似，由相似得比例，根据PD=DC，得到PA=AO，设AD=x，代入PD²=PA•PB表示出BC，根据勾股定理求出x的值，即可确定出BC的长．

解答 解：（1）连接OD，
∵CD，CB均为⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠COD=∠COB=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠COD=∠ODA=∠COB=∠OAD，
∴AD∥OC；
（2）PD²=PA•PB，理由为：
证明：连接BD，则∠ADB=90°，
又∠PDO=90°，
∴∠PDA+∠ODA=∠PBD+∠OAD=90°．
又∵∠ODA=∠OAD，
∴∠PDA=∠PBD，
又∠DPB=∠APD，
∴△PAD∽△PDB，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PD}{PB}$，
∴PD²=PA•PB；
（3）∵AD∥OC，
∴△PAD∽△POC，
∴$\frac{PA}{AO}$=$\frac{PD}{CD}$，
又PD=CD，
∴PA=OA，
设DA=x，则OA=OB=PA=x，PD²=PA•PB=3x²，
∴BC²=CD²=PD²=3x²，
在△OBC中，由勾股定理，得3x²+x²=16，
∵x＞0，
∴x=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及切线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．