Question

如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是

 

．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），以及勾股定理即可求解．

解答：解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=

1

2

AB=

1

2

×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）
又∵直角△OBC中，OB²=OC²+BC²
∴圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=π•BC²=16π．
故答案为：16π．

点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．