Question

抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式和顶点M．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90？若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

Answer 1

解：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，
得，解得，
∴y=x²-4x，即y=（x-2）²-4，∴顶点M（2，-4）．（5分）

（2）设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为（m，m²-4m），
过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90°，
∴∠EPO=∠FOM，
∵∠OEP=∠MFO=90°，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．即（m²-4m）：2=m：4．
解得m₁=0（舍去），m₂=．
故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为（，）．（8分）
分析：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，列方程组求a、b、c的值，确定抛物线解析式，用配方法求顶点M的坐标；
（2）存在．设P（m，m²-4m），过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明∠EPO=∠FOM，可证Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求m的值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知点的坐标求抛物线解析式，根据∠POM=90°构造相似三角形，利用相似比求解．