Question

如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是

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．

Answer 1

分析：先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S_△DBE=S_△DCE，易求S_正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么
AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S_△BEF：S_△DAF=（

BE

AD

）²，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S_△DAF=4x，进而可得S_正方形=S_△ABF+S_△BEF+S_△ADF+S_△DEF+S_△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．

解答：解：如右图，设△BEF的面积是x，
∵E是BC中点，
∴S_△DBE=S_△DCE，
∴S_△BCD=2（1+x），
∴S_正方形=4（1+x），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴S_△BEF：S_△DAF=（

BE

AD

）²，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
∴BE：AD=1：2，
∴S_△DAF=4x，
∵S_△ABE=S_△BED，
∴S_△ABF=S_△DEF=1，
∴S_正方形=S_△ABF+S_△BEF+S_△ADF+S_△DEF+S_△DCE=1+x+4x+1+1+x，
∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，
解得x=0.5，
∴S_正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．

点评：本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．