Question

5．如图所示．△ABC是边长为3的等边三角形，P，Q，R分别是AB，BC，CA上一动点，它们相同的速度，P由A向B运动，Q由B向C运动，R由C向A运动．
（1）求证：△PQR是等边三角形；
（2）设AP=x，△PQR的面积为s，求s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，s有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，由P，Q，R分别是AB，BC，CA上一动点，它们相同的速度，P由A向B运动，Q由B向C运动，R由C向A运动．可知AP=BQ=CR，BP=CQ=AR，从而可证得△BPQ≌△CQR≌△ARP，得到PQ=QC=RA即可；
（2）设AP=x，则AR=BP=3-x，△APR的边AP上的高为sin60°×AR，S_△APR=$\frac{1}{2}×AP×sin60°×AR$，根据△PQR的面积为S=S_△ABC-3S_△APR，即可求出s与x之间函数关系式；
（3）把（2）中函数关系式变形为顶点式，根据二次函数的性质求出当x为何值时，s的最小值．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵P，Q，R分别是AB，BC，CA上一动点，它们相同的速度，P由A向B运动，Q由B向C运动，R由C向A运动，
∴AP=BQ=CR，BP=CQ=AR，
在△BPQ、△CQR和△ARP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ=CR}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BP=CQ=AR}\end{array}\right.$，
∴△BPQ≌△CQR≌△ARP，
∴PQ=QC=RA，
∴△PQR是等边三角形；
（2）设AP=x，则AR=BP=3-x，
∴△APR的边AP上的高为sin60°×AR，
S_△APR=$\frac{1}{2}×AP×sin60°×AR$
=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（3-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x，
∵△PQR的面积为S=S_△ABC-3S_△APR，
∴S=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$-3（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x）
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
（3）S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{16}$
∴当x为$\frac{3}{2}$时，s有最小值，最小值是$\frac{9\sqrt{3}}{16}$．

点评 此题考查等边三角形的性质与判定以及二次函数的实际应用，利用特殊角的三角函数，以及等边三角形的性质求得底和高是解决问题的关键．