Question

（1）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n=

 

．

（2）小明在一次数学活动中，为了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值，设计了如图3所示的图形．请你利用这个几何图形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值为

 

．

（3）请你利用图4，再设计一个能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值的图形．

Answer 1

分析：（1）图2中圆点的个数是图1中圆点个数的2倍，图2总圆点个数为n×（n+1），所以图1中圆点是个数为：

n(n+1)

2

（2）设正方形的面积为1，每次划分都是将原图形化成两个面积相等的图象，当化到第n个时，所剩的最小图形的面积是

1

2n

，所以

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

表示的面积等于1-

1

2n

．
（3）在划分图形时每次划分都是上一级图形面积的一半．

解答：解：由分析得：（1）1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；

（2）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．

（3）如图1-1或如图1-2或如图1-3等．

点评：本题解答关键是利用图形的面积表示所求表达式的值，在图形划分时每一次划分都是上一级图形面积的一半．