Question

如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB=2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．

Answer 1

分析：连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM=MN，由相交弦定理得ME•MF=MA•MB，就可求得EM，DE的值．

解答：解：∵M，N分别是边AB，AC的中点
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=1
又∵BD∥AC
∴∠DBA=∠A=60°
∵BM=AM，∠BMD=∠AMN
∴△BMD≌△AMN
∴DM=MN=1
连接OA交MN于点G，则OA⊥BC
∴OA⊥EF
∴EG=FG，MG=FN
由相交弦定理得：ME•MF=MA•MB
∴EM（EM+1）=1
解得EM=

5 -1

2

（EM=

- 5 -1

2

不合题意，舍去）
∴DE=DM-EM=

3- 5

2

∴DE（3-DE）=1
解得DE=

3- 5

2

（DE=

3+ 5

2

不合题意，舍去）．

点评：本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．