Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程组

2x=y 3x-y=6

的解，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=2

5

．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解方程组方程组

2x=y 3x-y=6

，
解得：

x=6 y=12

∵线段OA、OB的长（0A＜OB）是方程组

2x=y 3x-y=6

的解，
∴OA=6，OB=12，
∴A（6，O），B（0，12），
设直线AB的解析为y=kx+b，
∴

0=6k+b 12=b

∴直线AB：y=-2x+12，
联立

y=-2x+12 y=2x

，
解得：

x=3 y=6

，
点C的坐标为（3，6）；

（2）设点D：（a，2a），
由OD=2

5

：a²+（2a）²=（2

5

）²，
得：a=±2，
∵由图得，a＞0，
∴a=2．
∴D（2，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b
把A（6，0），D（2，4）代入得

6k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-1 b=6

，
∴直线AD的解析式为y=-x+6；

（3）存在．
Q₁（-3

2

，3

2

）
Q₂（3

2

，-3

2

）
Q₃（3，-3）
Q₄（6，6）