Question

如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点D作DP⊥AB于点P．若CD=6，AB=8，则在运动过程中，圆心O到弦CD的距离为

 

，MP的最长距离是

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：连结OM，OD，如图，由M是CD的中点，根据垂径定理的推论得OM⊥CD，则根据勾股定理可计算出OM=

7

；由DP⊥AB，OM⊥CD得到∠OPD=∠OMD=90°，
根据圆周角定理可判断点M、O、P、D在以OD为直径的圆上，所以当MP为此圆的直径时最大，即MP的最长距离=OD=4．

解答：解：连结OM，OD，如图，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
在Rt△ODM中，DM=

1

2

CD=3，OD=

1

2

AB=4，
∴OM=

OD2-DM2

=

7

；
∵DP⊥AB，OM⊥CD，
∴∠OPD=∠OMD=90°，
∴点M、O、P、D在以OD为直径的圆上，
∴当MP为此圆的直径时最大，即MP的最长距离=OD=4．
故答案为

7

，4．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．也考查了勾股定理．