Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，点D在⊙O上，且AD=CD，如果tanC=，BC=1．求AD长？

Answer 1

解：连接OD．
∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∵tanC=，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠A=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠CDO=∠ADC-∠ADO=120°-30°=90°，
在Rt△DOC中，
∵∠C=30°，
∴OD=OC，
∵OD=OB，
∴OD=DB=BC=1，
∴OC=2，
∴CD=OC•cos30°=2×=，
∴AD=CD=．
分析：连接OD，先由AD=CD可知∠A=∠C，再根据tanC=可求出∠C的度数，由三角形内角和定理可求出∠ADC的度数，再由OA=OD可求出∠CDO的度数，进而可判断出△ODC是直角三角形，再根据锐角直角三角形的性质可求出OD及CD的长，即可得出AD的长．
点评：本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．