Question

2．⊙O的内接正六边形的边心距是2，求该圆内接正三角形的边心距．

Answer 1

分析 连接OA、OB，作OM⊥AB于M，证出△AOB是等边三角形，得出∠OAB=60°，由三角函数求出半径OA，连接OE，作ON⊥AE于N，由正三角形的性质得出∠AOE=60°，由等腰三角形的性质求出∠OAE=30°，由含30°角的直角三角形的性质求出ON即可．

解答 解：如图所示：AB为⊙O的内接正六边形的一条边，AE是⊙O的内接正三角形的一条边，
连接OA、OB，作OM⊥AB于M，
则∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OA=$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
连接OE，作ON⊥AE于N，
则∠AOE=$\frac{360°}{3}$=120°，
∵OE=OA，
∴∠OAE=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
即⊙O的内接正三角形的边心距为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；由正六边形的性质和三角函数求出半径是解决问题的关键．