Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE+CD=AD+BE

（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

（3）解：当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE=BE﹣AD．

理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CE=AD，CD=BE，

∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD

【解析】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE﹣AD．